【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=AA1 , ∠A1AB=∠A1AD=60°.

(1)求證:平面A1BD⊥平面A1AC;
(2)若BD= D=2,求平面A1BD與平面B1BD所成角的大。

【答案】
(1)證明:因為AA1=AB=AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,

所以△A1AB和△A1AD均為正三角形,

于是A1B=A1D

設(shè)AC與BD的交點為O,則A1O⊥BD

又ABCD是菱形,所以AC⊥BD

而A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1AC

而BD平面A1BD,故平面A1BD⊥平面A1AC


(2)解:由A1B=A1D及 ,知A1B⊥A1D

又由A1D=AD,A1B=AB,BD=BD,得△A1BD≌△ABD,故∠BAD=90°

于是 ,從而A1O⊥AO,結(jié)合A1O⊥BD

得A1O⊥底面ABCD

如圖,以O(shè)為原點,OA,OB,OA1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,

則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),

,

設(shè)平面B1BD的一個法向量為 ,由 ,

令x=1,得

平面A1BD的一個法向量為 ,設(shè)平面A1BD與平面B1BD所成角為θ,

解得θ=45°,

故平面A1BD與平面B1BD所成角的大小為45°.


【解析】(1)推導(dǎo)出△A1AB和△A1AD均為正三角形,A1O⊥BD,AC⊥BD,由此能證明平面A1BD⊥平面A1AC.(2)以O(shè)為原點,OA,OB,OA1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面A1BD與平面B1BD所成角的大。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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井號

1

2

3

4

5

6

坐標(x,y)(km)

(2,30)

(4,40)

(5,60)

(6,50)

(8,70)

(1,y)

鉆探深度(km)

2

4

5

6

8

10

出油量(L)

40

70

110

90

160

205

(Ⅰ)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a,求a,并估計y的預(yù)報值;

(Ⅱ)現(xiàn)準備勘探新井7(1,25),若通過1、3、5、7號井計算出的,的值(,精確到0.01)與(I)中b,a的值差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6(1,y),否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?(參考公式和計算結(jié)果:,,,

(Ⅲ)設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有6口井中任意勘探4口井,求勘探優(yōu)質(zhì)井數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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