Question

9．在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\frac{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}{ac}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{sinAcosA}$．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求bc的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}{ac}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{sinAcosA}$，利用余弦定理可得-2cosB=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，cosB≠0，化為：sinAcosA=$\frac{1}{2}$，與sin²A+cos²A=1聯(lián)立基礎(chǔ)即可得出．．
（2）由余弦定理可得：2=b²+c²-2bccos45°，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{{b^2}-{a^2}-{c^2}}}{ac}$=$\frac{{cos（{A+C}）}}{sinAcosA}$，∴-2cosB=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，cosB≠0，
化為：sinAcosA=$\frac{1}{2}$，又sin²A+cos²A=1，A為銳角，解得A=45°．
（2）由余弦定理可得：2=b²+c²-2bccos45°≥2bc-$\sqrt{2}$bc，可得bc≤2+$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$時(shí)取等號．
∴0＜bc≤2+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理、三角形的邊角大小關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．