Question

3．如圖：三棱錐A-BCD的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC=AB=4，DA⊥平面ABC，E是BD的中點．
（1）求證：AE與BC不垂直；
（2）若此三棱錐的體積為$\frac{32}{3}$，求異面直線AE與DC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）采用反證法，假設(shè)AE⊥BC，則BC⊥平面DAB，于是BC⊥AB，得出矛盾；
（2）取BC中點F，連結(jié)EF，AF，則∠AEF為異面直線所成的角，根據(jù)棱錐的體積和勾股定理，中位線定理求出△AEF的三邊長，利用余弦定理計算∠AEF．

解答 解：（1）假設(shè)AE⊥BC，
∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DA⊥BC，
又DA?平面DAB，AE?平面DAB，DA∩AE=A，
∴BC⊥平面DAB，∵AB?平面DAB，
∴BC⊥AB，與AC⊥AB矛盾．
∴AE與BC不垂直．
（2）∵DA⊥平面ABC，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=8，
∴三棱錐體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•DA$=$\frac{8}{3}•DA$=$\frac{32}{3}$，∴DA=4．
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+D{A}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{D{A}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
設(shè)BC中點為F，連EF，AF，則EF=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{2}$，AF=$\frac{1}{2}BC$=2$\sqrt{2}$，AE=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$．
∴△AEF是正三角形，∴∠AEF=60°．
∵E是DB中點，則EF∥DC，∴∠AEF是AE與DC所成角．
即異面直線AE與DC所成角的大小為60°．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，異面直線所成的角，構(gòu)造平行線作出空間角的平面角是關(guān)鍵．