Question

11．四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．
（Ⅰ）證明：AC⊥BP；
（Ⅱ）求二面角C-AP-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得到AC⊥PD，而由條件AC⊥BD，這樣根據(jù)線面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，進(jìn)而便可證出AC⊥BP；
（Ⅱ）可設(shè)AC與BD交于點O，這樣由條件便可分別以O(shè)D，OA為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而可以求出點O，D，A，P四點的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{DP}$的坐標(biāo)，可設(shè)平面ACP的法向量$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面ADP的法向量$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，這樣根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OP}=0}\end{array}\right.$便可得出法向量$\overrightarrow{m}$的坐標(biāo)，同理便可得出法向量$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，從而便可求出$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$的值，即得出二面角C-AP-D的平面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD；
∴AC⊥PD；
又AC⊥BD，BD∩PD=D；
∴AC⊥平面PBD，BP?平面PBD；
∴AC⊥BP；
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OD，OA為x，y軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則：O（0，0，0），D（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，1，0），P（$\sqrt{3}$，0，1）；
∴$\overrightarrow{OA}=（0，1，0），\overrightarrow{OP}=（\sqrt{3}，0，1）$，$\overrightarrow{AD}=（\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$；
設(shè)平面ACP的法向量$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面ADP的法向量$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$；
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OP}=0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{x}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，則$\overrightarrow{m}=（1，0，-\sqrt{3}）$；
同理，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$得，$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{2×2}=\frac{1}{4}$；
∴二面角C-AP-D的平面角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決二面角的平面角問題的方法，能求空間點的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及平面法向量的概念及求法，清楚兩平面法向量的夾角和兩平面所成平面角大小的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．