【題目】已知函數(shù),存在,使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

f′(x)=aexlnx﹣1,根據(jù)存在n∈N,使得函數(shù)fx)在區(qū)間(n,n+2)上有兩個極值點,可得方程f′(x)=0必有兩個不等根,等價于a在區(qū)間(n,n+2)上有兩個不等根,等價于函數(shù)yagx在區(qū)間(n,n+2)上有兩個不同的交點.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.

f′(x)=aexlnx﹣1,∵存在n∈N,使得函數(shù)fx)在區(qū)間(n,n+2)上有兩個極值點,

∴方程f′(x)=0必有兩個不等根,等價于a在區(qū)間(n,n+2)上有兩個不等根,

等價于函數(shù)yagx在區(qū)間(nn+2)上有兩個不同的交點.

g′(x,

hx)=1﹣xlnx+1),h′(x)=﹣(lnx+2).

可得x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0;x∈(e﹣2,+∞)時,h′(x)<0.

xe﹣2時,函數(shù)hx)取得極大值he﹣2)=1+e﹣2

h(1)=0,x→0+時,hx)→1.

∴取n=0,區(qū)間為(0,2).

g′(1)=0.

x(0,1)時,函數(shù)gx)單調(diào)遞增;x(1,2)時,函數(shù)gx)單調(diào)遞減.

x=1時,函數(shù)gx)取得極大值即最大值,g(1)

x→0+時,gx)→﹣∞;x=2時,g(2)

∴實數(shù)a的取值范圍是

故選:B

練習(xí)冊系列答案
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