【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若在區(qū)間存在一個,使得成立,求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析;(2).
【解析】
(1)求出的導(dǎo)數(shù),令,分、、三種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號從而確定的單調(diào)區(qū)間;(2) 由整理得,令,設(shè)函數(shù)的零點為可得,分析的單調(diào)性從而求出最小值,根據(jù)不等式成立的充要條件即可求得a的取值范圍.
(1),
令,,
①若即,
則二次函數(shù)開口向下且與軸無交點,
當(dāng)時,即,
函數(shù)在上單調(diào)遞減;
②若即,
當(dāng)時,開口向下且對稱軸為,
當(dāng)時,即,
函數(shù)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,開口向下且對稱軸為,
當(dāng)時,即,
函數(shù)在上單調(diào)遞減;
③若即或,
方程的根為,
當(dāng)時,因為開口向下,
,
所以當(dāng)時,即,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,因為,
所以當(dāng),時,
即,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
即,函數(shù)單調(diào)遞增;
綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
在區(qū)間,上單調(diào)遞減.
(2)根據(jù)題意,若,
則,
化簡得,令,
,令可得即,
設(shè)函數(shù)的零點為,則,
由在單調(diào)遞增,
所以時,,單調(diào)遞減;
時,,單調(diào)遞增,
,
所以.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以該直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系下,圓C2的方程為ρ=﹣2cosθ+2sinθ.
(Ⅰ)求直線C1的普通方程和圓C2的圓心的極坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)直線C1和圓C2的交點為A,B,求弦AB的長.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線上的點均在曲線外,且對上任意一點,到直線的距離等于該點與曲線上點的距離的最小值.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)若點是曲線的焦點,過的兩條直線關(guān)于軸對稱,且分別交曲線于,若四邊形的面積等于,求直線的方程.
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【題目】如圖,分別過橢圓左、右焦點的動直線相交于點,與橢圓分別交于與不同四點,直線的斜率滿足.已知當(dāng)與軸重合時,,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在定點,使得為定值?若存在,求出點坐標(biāo)并求出此定值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),和.
【解析】試題分析:(1)當(dāng)與軸重合時,垂直于軸,得,得,從而得橢圓的方程;(2)由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,所以把坐標(biāo)化,可得點的軌跡是橢圓,從而求得定點和點.
試題解析:當(dāng)與軸重合時,, 即,所以垂直于軸,得,,, 得,橢圓的方程為.
焦點坐標(biāo)分別為, 當(dāng)直線或斜率不存在時,點坐標(biāo)為或;
當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)斜率分別為, 設(shè)由, 得:
, 所以:,, 則:
. 同理:, 因為
, 所以, 即, 由題意知, 所以
, 設(shè),則,即,由當(dāng)直線或斜率不存在時,點坐標(biāo)為或也滿足此方程,所以點在橢圓上.存在點和點,使得為定值,定值為.
考點:圓錐曲線的定義,性質(zhì),方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應(yīng)用進行考查,第一問通過兩個特殊位置,得到基本量,,得,,從而得橢圓的方程,第二問由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,本題的關(guān)鍵是從這個角度出發(fā),把坐標(biāo)化,求得點的軌跡方程是橢圓,從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知,,.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點為,記,證明:.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=3an-1(n∈N*).
(1)若數(shù)列{bn}滿足bn=an-,求證:{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
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【題目】已知在△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且2sin2A+3cos(B+C)=0.
(1)求角A的大;
(2)若△ABC的面積S=,求sinB+sinC的值.
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【題目】已知函數(shù),存在,使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中,四邊形ABCD是菱形,∠BAD=60°,又PD⊥平面ABCD,點E是棱AD的中點,F(xiàn)在棱PC上,且AD=PD=4.
(1)證明:平面BEF⊥平面PAD;
(2)若PA∥平面BEF,求四棱錐F﹣BCDE的體積.
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