Question

2．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{2}a{x^2}+（1+a）x-lnx（a∈R）$．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）-k（x+2）+2．若函數(shù)g（x）在區(qū)間$[\frac{1}{2}，+∞）$上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，0＜a＜1，a=1，a＞1，判斷單調(diào)性，即可得到所求遞減區(qū)間；
（Ⅱ）g（x）=x²-xlnx-k（x+2）+2在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程$k=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}$在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．令函數(shù)$h（x）=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}，x∈[\frac{1}{2}，+∞）$．求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-ax+1+a-$\frac{1}{x}$=-$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$（a＞0），
①當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，$\frac{1}{a}＞1$．
由f'（x）＜0，得$x＞\frac{1}{a}$或x＜1．
當(dāng)x∈（0，1），$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$；
②當(dāng)a=1時(shí)，恒有f'（x）≤0，∴f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
③當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，$\frac{1}{a}＜1$．
由f'（x）＜0，得x＞1或$x＜\frac{1}{a}$．
∴當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{a}）$，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞）．
綜上，當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞）．
（Ⅱ）g（x）=x²-xlnx-k（x+2）+2在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有零點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程$k=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}$在$x∈[\frac{1}{2}，+∞）$上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
令函數(shù)$h（x）=\frac{{{x^2}-xlnx+2}}{x+2}，x∈[\frac{1}{2}，+∞）$．
則$h'（x）=\frac{{{x^2}+3x-2lnx-4}}{{{{（x+2）}^2}}}$．
令函數(shù)$p（x）={x^2}+3x-2lnx-4，x∈[\frac{1}{2}，+∞）$．
則$p'（x）=\frac{（2x-1）（x+2）}{x}$在$[\frac{1}{2}，+∞）$上有p'（x）≥0．
故p（x）在$[\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．
∵p（1）=0，∴當(dāng)$x∈[\frac{1}{2}，1）$時(shí)，有p（x）＜0即h'（x）＜0．∴h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，有p（x）＞0即h'（x）＞0，∴h（x）單調(diào)遞增．
∵$h（\frac{1}{2}）=\frac{9}{10}+\frac{ln2}{5}$，h（1）=1，$h（10）=\frac{102-10ln2}{12}＞\frac{102-10}{12}=\frac{23}{3}＞$$h（\frac{1}{2}）$，
∴k的取值范圍為$（1，\frac{9}{10}+\frac{ln2}{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查分類(lèi)討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)的方法，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．