Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+2，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\\{\;}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范圍是（　　）

• A． （-3，+∞）
• B． （-∞，3）
• C． [-3，3）
• D． （-3，3]

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可得x₁+x₂=-4，x₃x₄=1；1＜x₄≤4；從而化簡$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出它的取值范圍．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，
由圖可知，x₁+x₂=-4，x₃x₄=1；
當|log₂x|=2時，x=4或x=$\frac{1}{4}$，
則1＜x₄≤4
故$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$=$\frac{-4}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{-4}{{x}_{4}}$+x₄，
其在1＜x₄≤4上是增函數(shù)，
故-4+1＜$\frac{-4}{{x}_{4}}$+x₄≤-1+4；
即-3＜$\frac{-4}{{x}_{4}}$+x₄≤3；
即$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范圍是（-3，3]，
故選：D

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及一元二次函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．．