【題目】在正四面體ABCD中,點EF分別是AB,BC的中點,則下列命題正確的序號是______

①異面直線ABCD所成角為90°

②直線AB與平面BCD所成角為60°;

③直線EF∥平面ACD

④平面AFD⊥平面BCD

【答案】①③④

【解析】

在①中,由AB⊥平面CDE,知異面直線ABCD所成角為90°;在②中,直線AB與平面BCD所成角為;在③中由EFAC,知直線EF∥平面ACD;在④中,由BC⊥平面ADF,知平面AFD⊥平面BCD,從而得到結果

解:正四面體ABCD中,點E,F分別是ABBC的中點,

在①中,∵正四面體ABCD中,點EF分別是AB,BC的中點,

CEAB,DEAB,

,∴AB⊥平面CDE,

CD平面CDE,

,即異面直線ABCD所成角為90°,故①正確;

在②中,過AAO⊥平面BCD,交DF=O,連結BO,

則∠ABO是直線AB與平面BCD所成角,

設正四面體ABCD的棱長為2,

DF=,BO=,

cos==

∴直線AB與平面BCD所成角為,故②錯誤;

在③中,∵點EF分別是AB,BC的中點,

EFAC,

EF平面ACD,AC平面ACD,

∴直線EF∥平面ACD,故③正確;

在④中,由AFBC,DFBC,

,∴BC⊥平面ADF,

BC平面BCD,∴平面AFD⊥平面BCD,故④正確

故答案為:①③④

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