Question

20．用數(shù)學(xué)歸納法證明：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除．

Answer 1

分析 先驗(yàn)證n=1時(shí)命題是否成立，假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，推導(dǎo)驗(yàn)證n=k+1時(shí)命題成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2¹⁺²•3¹+5×1-4=25，能被25整除，命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)，2^k+2•3^k+5k-4能被25整除．
那么n=k+1時(shí)，原式=2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4
=6×2^k+2•3^k+5（k+1）-4
=6[（2^k+2•3^k+5k-4）-5k+4]+5（k+1）-4
=6（2^k+2•3^k+5k-4）-30k+24+5k+5-4
=6（2^k+2•3^k+5k-4）-25（k-1）．
∵6（2^k+2•3^k+5k-4）、-25（k-1）能被25整除，
∴n=k+1時(shí)，命題成立．
綜上，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，掌握證明步驟，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1是證明的關(guān)鍵，屬于中檔題．