Question

10．過點A（0，a）作直線與圓E：（x-2）²+y²=1交于B，C兩點，在線段BC上取滿足BP：PC=AB：AC的點P．
（Ⅰ）求P點的軌跡方程；
（Ⅱ）設直線2x-ay-3=0與圓E交于M、N兩點，求△EMN（E為圓心）面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）設AB方程為y=kx+a，與圓的方程聯(lián)立得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出點P軌跡方程．
（II）求出圓心E到直線MN的距離，得$|{MN}|=2\sqrt{1-{h^2}}$，由此能求出S_△EMN的最大值．

解答 解：（I）設AB方程為y=kx+a，與圓的方程聯(lián)立得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
設B，C兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{2ak-4}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}+3}}{{1+{k^2}}}$…（2分）
設P點坐標為（x，y），∵$\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}$，∴$\frac{{x-{x_1}}}{{{x_2}-x}}=\frac{x_1}{x_2}$…（3分）
∴$x=\frac{{2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{{a^2}+3}}{2-ak}$，∴$y=kx+a=\frac{2a+3k}{2-ak}$…（4分）
消去k，得2x-ay-3=0，
∴點P軌跡方程是2x-ay-3=0（在圓內部分）．…（6分）
（II）圓心E到直線MN的距離為$h=\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+4}}}$…（7分）
∴$|{MN}|=2\sqrt{1-{h^2}}$…（8分）
∴${S_{△EMN}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{1-{h^2}}•h=\sqrt{{h^2}（1-{h^2}）}=\sqrt{-{h^4}+{h^2}}=\sqrt{-{{（{h^2}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$…．（10分）
∵$h∈（0，\frac{1}{2}]$∴當$h=\frac{1}{2}$時，S_△EMN取得最大，最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式的合理運用．