Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0）有下列命題：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）；
②直線x=k（k∈R）與函數(shù)f（x）圖象有唯一交點(diǎn)；
③函數(shù)y=f（x）+1有兩個(gè)零點(diǎn)；
④函數(shù)定義域?yàn)镈，則任意x∈D，f（-x）=f（x）；
⑤當(dāng)a=b=1時(shí)，以點(diǎn)（0，1）為圓心病情與函數(shù)相切的圓的最小面積為3π．
其中所有敘述正確的命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)于函數(shù)f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0），逐一分析函數(shù)的定義域，值域，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，奇偶性等性質(zhì)，進(jìn)而得到5個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

b

|x|-a

（a＞0，b＞0）的定義域?yàn)閧x|x≠±a}，值域?yàn)椋海?∞，-

b

a

]∪（0，+∞），故①錯(cuò)誤；
當(dāng)k=±a時(shí)，直線x=k（k∈R）的函數(shù)f（x）圖象無交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
令f（x）+1=0，則|x|=a-b，若a≤b，則方程無兩解，即函數(shù)y=f（x）+1有無兩個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
函數(shù)定義域?yàn)镈，則任意x∈D，f（-x）=

b

|-x|-a

=

b

|x|-a

=f（x），故④正確；
當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=

1

|x|-1

，則點(diǎn)（0，1）為圓心的圓與函數(shù)圖象相切時(shí)，
若切點(diǎn)橫坐標(biāo)在（-1，1）之間，則半徑為2，
若切點(diǎn)橫坐標(biāo)在（-∞，-1）∪（1，+∞），設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

x-1

），（x＞1）
則R²=x2+(

1

x-1

-1)2=[

1

x-1

-(x-1)+1]2+3≥3，
故半徑最小值為

3

，則圓的最小面積為3π，故⑤正確；
故所有敘述正確的命題的序號(hào)是④⑤，
故答案為：④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的定義域，值域，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，奇偶性等性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．