Question

19．已知函數(shù)f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）討論函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得ω，可得其解析式，利用正弦函數(shù)的圖象的對稱求得函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸方程．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵$f（x）=sinωx-cosωx=\sqrt{2}sin（ωx-\frac{π}{4}）$，且T=π，∴ω=2．
于是$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，令$2x-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}（k∈Z）$，
即函數(shù)f（x）的對稱軸方程為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}（k∈Z）$．
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]（k∈Z）$．
注意到$x∈[0，\frac{π}{2}]$，令k=0，
得函數(shù)f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的單調(diào)增區(qū)間為$[0，\frac{3π}{8}]$；
同理，求得其單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{3π}{8}，\frac{π}{2}]$．

點評 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、以及它的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．