Question

12．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與函數(shù)y=tan$\frac{x}{4}$的圖象相交于A₁，A₂兩點，若點P在橢圓C上，且直線PA₂的斜率的取值范圍[-2，-1]，那么直線PA₁斜率的取值范圍是$[\frac{3}{8}，\frac{3}{4}]$．

Answer 1

分析 橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與函數(shù)y=tan$\frac{x}{4}$的圖象相交于A₁，A₂兩點，可知：A₁，A₂兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)A₁（x₁，y₁），A₂（-x₁，-y₁），P（x₀，y₀），分別代入橢圓方程可得：${y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．由于直線PA₂的斜率k₁的取值范圍[-2，-1]，可得-2≤$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$≤-1，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=k₂，可得k₁k₂=$-\frac{3}{4}$．即可得出．

解答 解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1與函數(shù)y=tan$\frac{x}{4}$的圖象相交于A₁，A₂兩點，
∴A₁，A₂兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)A₁（x₁，y₁），A₂（-x₁，-y₁），$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，${y}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}（4-{x}_{1}^{2}）$．
設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1，可得：${y}_{0}^{2}$=$\frac{3}{4}（4-{x}_{0}^{2}）$．
∴${y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．
∵直線PA₂的斜率k₁的取值范圍[-2，-1]，
∴-2≤$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$≤-1，
${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=k₂，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}（{x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{0}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$-\frac{3}{4}$．
∴${k}_{1}=-\frac{3}{4{k}_{2}}$，
∴$-2≤-\frac{3}{4{k}_{2}}≤$-1，
解得$\frac{3}{8}≤{k}_{2}≤\frac{3}{4}$．
那么直線PA₁斜率的取值范圍是$[\frac{3}{8}，\frac{3}{4}]$．
故答案為：$[\frac{3}{8}，\frac{3}{4}]$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、正切函數(shù)的對稱性、“點差法”、斜率計算公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．