Question

16．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），記f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（C）=1，c=2$\sqrt{7}$，sinA=2sinB，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積公式求出f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質得出周期，列出不等式解出增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（C）=1計算C，由正弦定理得出a=2b，利用余弦定理計算b．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$=sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=2π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，
∴f（x）的單調增區(qū)間為[-$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]，k∈Z．
（2）∵f（C）=sin（C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，∴sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即C=$\frac{2π}{3}$．
∵sinA=2sinB，∴a=2b．
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{5^{2}-28}{4^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b=2，∴a=4．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正余弦定理解三角形，屬于中檔題．