Question

15．如圖，平面PAC⊥平面ABCD，DA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD=1．AB∥DC，∠CPD=90°．
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若二面角A-PC-D的大小為45°．求CP．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PAD⊥平面PCD；
（2）根據(jù)二面角平面角的定義，得到∠DPA=45°，根據(jù)直徑三角形的邊角關(guān)系即可求CP．

解答 證明：（1）取CD的中點(diǎn)O，連接AO，OB，
∵DA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD=1．
∴ABCO是菱形，
則OB⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABCD，
∴OB⊥平面PAC，則PC⊥OB，
∵OB∥AD，∴PC⊥AD，
∵∠CPD=90°，∴PC⊥PD，
∵PD∩AD=D，∴PC⊥平面PAD，
∵PC?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD；
（2）∵PC⊥平面PAD，∴PC⊥PA，PC⊥PD，
則∠DPA是二面角A-PC-D的平面角，
∵二面角A-PC-D的大小為45°．
∴∠DPA=45，
∵AB=AC=1，∴AC=$\sqrt{3}$，
∵AD⊥平面PAD，∴AD⊥PA，
則PA=AD=1，在直角三角形APC中，
PC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查面面垂直的判斷，以及二面角的應(yīng)用，根據(jù)相應(yīng)的定定理以及二面角的定義找出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．