Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E、F、G分別為線段BC、PA、AB上的點(diǎn)，H為△PCD的重心，PA=AB=3，F(xiàn)A=BG=CE=1．
（1）求證：BF∥平面PDE；
（2）求異面直線GH與PE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BF∥平面PDE．
（2）求出$\overrightarrow{GH}$，$\overrightarrow{PE}$，利用向量法能求出異面直線GH與PE所成角的余弦值．

解答 證明：（1以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（3，0，0），F(xiàn)（0，0，1），P（0，0，3），E（3，2，0），D（0，3，0），
$\overrightarrow{BF}$=（-3，0，1），$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-3），$\overrightarrow{PE}$=（3，2，-3），
設(shè)平面PDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=3y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=3x+2y-3z=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（1，3，3），
∵$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{n}$=-3+0+3=0，BF?平面PDE，∴BF∥平面PDE．
（2）C（3，3，0），G（2，0，0），CD中點(diǎn)M（$\frac{3}{2}$，3，0），$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{3}{2}，3，-3$），
∴$\overrightarrow{PH}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{PM}$=（1，2，-2），∴H（1，2，1），
$\overrightarrow{GH}$=（-1，2，1），$\overrightarrow{PE}$=（3，2，-3），
設(shè)異面直線GH與PE所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{GH}•\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{GH}|•|\overrightarrow{PE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{22}}$=$\frac{\sqrt{33}}{33}$．
∴異面直線GH與PE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{33}}{33}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．