Question

3．已知焦點為F的拋物線y²=2px（p＞0）上有一點A（m，2$\sqrt{2}$），以A為圓心，|AF|為半徑的圓被y軸截得的弦長為2$\sqrt{5}$，則m=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 把A點坐標(biāo)代入拋物線方程得出m，p的關(guān)系，利用拋物線的定義求出圓A的半徑，利用垂徑定理列方程解出m．

解答 解：∵A（m，2$\sqrt{2}$）在拋物線y²=2px上，∴2pm=8，∴p=$\frac{4}{m}$．
∴拋物線的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），即F（$\frac{2}{m}$，0）．
由拋物線的定義可知|AF|=m+$\frac{p}{2}$=m+$\frac{2}{m}$．即圓A的半徑r=m+$\frac{2}{m}$．
∵A到y(tǒng)軸的距離d=m，
∴r²-d²=（$\frac{2\sqrt{5}}{2}$）²，即（m+$\frac{2}{m}$）²-m²=5，解得m=2．
故選：C．

點評 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．