Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-ae^x有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂，則下列說法中正確的是（　　）

• A． a＞$\frac{1}{e}$
• B． x₁-x₂隨著a的增大而減小
• C． x₁x₂＜1
• D． x₁+x₂隨著a的增大而增大

Answer 1

分析 作出y=e^x與y=$\frac{x}{a}$的函數(shù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出a的臨界值，從而得出a的范圍；結(jié)合圖象得出x₁-x₂和x₁+x₂的變化趨勢．

解答 解：令f（x）=0得e^x=$\frac{x}{a}$，
作出y=e^x與y=$\frac{x}{a}$的函數(shù)圖象，則兩圖象有2個交點，

設(shè)y=kx與y=e^x相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{{e}^{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=e}\\{k=e}\end{array}\right.$．
∴$\frac{1}{a}＞e$，解得0＜a＜$\frac{1}{e}$．故A錯誤；
由圖象可知當(dāng)a逐漸增大時，兩交點越來越近，即x₁-x₂逐漸增大，故B錯誤；
由圖象可知：當(dāng)a→0⁺時，x₂→+∞，故x₁+x₂→+∞，
而當(dāng)a→$\frac{1}{e}$時，x₁→1，x₂→1，故x₁+x₂→2，顯然D錯誤；
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．