Question

16．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x-2|，x≠2}\\{4，x=2}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x_i（i=1，2，3，4，5），則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+2）=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 畫出f（x）的圖象，由圖象可知，令f（x）=t，則t²+bt+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)為2，由于lg|x-2|的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且其中一個(gè)解為2，即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到答案．

解答 解：畫出f（x）的圖象，
由于關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令f（x）=t，則t²+bt+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
且其中一個(gè)為2，
畫出直線y=m（m≠2），
得到5個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
設(shè)x₃=2，
且x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
由于y=lg|x-2|的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
則x₁+x₅=x₂+x₄=4，
即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+2）=f（12）=lg10=1，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的對(duì)稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．