5．在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a、b、c，且sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，S△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$及a+c的值．

分析 （1）由正弦定理可得b2=a2+c2-ac，整體代入余弦定理可得cosB，可得B；
（2）由題意和三角形的面積公式可得ac，進而可得數(shù)量積，再由余弦定理整體可解a+c．

解答 解：（1）在△ABC中，∵在三角形ABC中sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC，
∴由正弦定理可得b2=a2+c2-ac，∴a2+c2-b2=ac，
∴由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴ac=2，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=2×$\frac{1}{2}$=1，
再由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac，
∴（a+c）2=b2+3ac=9，∴a+c=3

點評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式和向量的運算，屬中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．如圖，在四面體ABCD中，設G是CD的中點，則$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$等于（　�。�
A．$\overrightarrow{AD}$B．$\overrightarrow{BG}$C．$\overrightarrow{CD}$D．$\overrightarrow{AG}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

16．已知函數(shù)f（x）=sinx（x∈R），則下列四個說法：
①函數(shù)g（x）=$\frac{{f}^{2}（x）-f（x）}{f（x）-1}$是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）滿足：對任意x1，x2∈[0，π]且x1≠x2都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]；
③若關于x的不等式f2（x）-f（x）+a≤0在R上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$]；
④若關于x的方程3-2cos2x=f（x）-a在[0，π]恰有4個不相等的解x1，x2，x3，x4；則實數(shù)a的取值范圍是[-1，-$\frac{7}{8}$），且x1+x2+x3+x4=2π；
其中說法正確的序號是③④．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．已知函數(shù)f（x）=sin（x-α）+2cosx，（其中α為常數(shù)），給出下列五個命題：
①存在α，使函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
②存在α，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最小值為-3；
④若函數(shù)f（x）的最大值為h（α），則h（α）的最大值為3；
⑤當α=$\frac{π}{6}$時，（-$\frac{π}{3}$，0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心．
其中正確的命題序號為①④⑤（把所有正確命題的選號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．在平面直角坐標系中，已知A（-1，0），B（1，0），動點P（x，y）滿足|PA|=a|PB（a＞0
）．
（1）試討論動點P的軌跡C；
（2）當a=$\sqrt{2}$時，直線y=x+b與軌跡C交于兩點M，N，若以線段MN為直徑的圓恰好過坐標原點O，求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．某校羽毛球小組有男學生A，B，C和女學生X，Y，Z共6人，其所屬年級如下：
一年級二年級三年級
男生ABC
女生XYZ
現(xiàn)從這6名學生中隨機選出2人參加羽毛球比賽（每人被選到的可能性相同）．
（1）共有幾種不同的選法？用表中字母列舉出來；
（2）設M為事件“選出的2人性別相同”，求事件M發(fā)生的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知數(shù)列{an}，a1=a（a∈R），an+1=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$（n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}從第二項起每一項都大于1，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=-3，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，證明：Sn＜n+$\frac{6}{7}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

14．已知實數(shù)a∈[0，10]，那么方程x2-ax+9=0有實數(shù)解的概率是$\frac{2}{5}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn=$\frac{{（{n+1}）}}{2}{a_n}$，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a1b1+a2b2+…+anbn=（n-1）•2n+1，求數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{b_n}}\right\}$的最大項．

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