Question

20．已知圓C：（x-3）²+（y+1）²=25，過點M（0，4）作直線l與圓C交于點A，B，
（1）若AB=8，求直線l的方程．
（2）當直線l的斜率為-2時，在直線l上求一點P，使過點P的切線長等于PM．
（3）AB的中點為E，在平面上找一定點F，使EF的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）考慮斜率存在與否的情況，根據(jù)弦長的中點與圓心的連線、圓心與交點A到構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求k．即可得到直線方程．
（2）當斜率為-2時，直線過M點，求出直線方程，設(shè)出P的坐標，過點P的切線長等于PM．求解即可．
（3）根據(jù)直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半即可得答案．

解答 解：由題意：圓C：（x-3）²+（y+1）²=25，圓心為（3，-1），半徑r=5．
過點M（0，4）的直線l與圓C交于點A，B，AB=8，設(shè)直線方程為：kx-y+4=0（k存在），
圓心到直線的距離d=$\frac{|3k-1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵弦長AB=2$\sqrt{{r}^{2}-hp4deih^{2}}$
∴4=$\sqrt{{5}^{2}-n4gljqt^{2}}$
解得：d²=9
那么：$\frac{|3k+1+4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3
解得：k=-$\frac{8}{15}$
所以直線方程為：8x+15y-60=0．
當k不存在時，直線方程為x=0，
圓心到直線的距離d=3，由弦長AB=2$\sqrt{{r}^{2}-z4zk0eg^{2}}$，
解出來AB=8
故AB=8時，直線l的方程為：x=0或8x+15y-60=0．
（2）當斜率為-2時，直線過M點，可得直線方程為：y=-2x+4．
點P在直線上，設(shè)P（x，-2x+4），由點P的切線長等于PM．
解得：x=$\frac{9}{26}$，y=$\frac{43}{13}$
故P的坐標為（$\frac{9}{26}$，$\frac{43}{13}$）．
（3）根據(jù)直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半有：定點M 的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，主要涉及直線與相交時，圓心距，半弦長與半徑的關(guān)系，切線即直角三角形相關(guān)性質(zhì)．