Question

4．2015年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災(zāi)，5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元，距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出如圖頻率分布直方圖：
（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）小明向班級(jí)同學(xué)發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民損款，現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐款援助，投抽出損失超過8000元的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召該小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如表，在表格空白外填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？

	經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元	經(jīng)濟(jì)損失超過4000元	合計(jì)
捐款超過500元	30
損款不超過500元		6
合計(jì)

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：臨界值參考公式：${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）求得各組區(qū)間的中點(diǎn)值，計(jì)算各個(gè)矩形的面積之和即可；
（2）由頻率分布直方圖可得，損失超過4000元的居民共有15戶；損失超過8000元的居民共有3戶，因此，ξ可能取值為0，1，2，運(yùn)用排列組合的知識(shí)，可得各自的概率，由期望公式計(jì)算即可得到；
（3）由（2）可得a，b，c，d，運(yùn)用臨界值參考公式，計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）記每戶居民的平均損失為$\overline x$元，則
$\overline{x}$=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000
=3360；
（2）由頻率分布直方圖可得，損失超過4000元的居民共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15戶，損失超過8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，因此，ξ可能取值為0，1，2$P（ξ=0）=\frac{{C_{12}^3}}{{C_{15}^3}}=\frac{22}{35}$，$P（ξ=1）=\frac{{C_3^1C_{12}^3}}{{C_{15}^3}}=\frac{12}{35}$，$P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{{C_{15}^3}}=\frac{1}{35}$，ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

則$Eξ=0×\frac{22}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{1}{35}=\frac{2}{5}$；
（3）如圖：

	經(jīng)濟(jì)損失不超過4000元	經(jīng)濟(jì)損失超過4000元	合計(jì)
捐款超過500元	30	9	39
損款不超過500元	5	6	11
合計(jì)	35	15	50

可得${K^2}=\frac{{50×{{（30×6-9×5）}^2}}}{39×11×35×15}=4.046＞3.841$，
所有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否4000元有關(guān)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)頻率分布直方圖求均值，以及隨機(jī)分布的概率和期望的計(jì)算，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的概率情況，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．