分析 (1)求出函數(shù)的導數(shù),從而求出t的范圍即可;
(2)分別求出f(x)和g(x)的導數(shù),求出a的值,從而求出k的值,求出切線方程,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
解答 解:(1)當a=e時,h(x)=$\frac{1}{2}$x2+2ex-3e2lnx(x>0),
h′(x)=x+2e-$\frac{{3e}^{2}}{x}$=$\frac{(x+3e)(x-e)}{x}$,
∴x=e是極值點,則t∈(1,e);
(2)∵f(x)=$\frac{1}{2}$x2+2ax,∴f′(x)=x+2a,
∵g(x)=3a2lnx,∴g′(x)=$\frac{{3a}^{2}}{x}$,
令x+2a=$\frac{{3a}^{2}}{x}$,∴(x+3a)(x-a)=0,
∴x=a或x=-3a(舍)時導數(shù)相等,
由a>0時,f(a)=g(a)?$\frac{1}{2}$a2+2a2=3a2lna⇒a=${e}^{\frac{5}{6}}$,
f′(a)=g′(a)=3a=3${e}^{\frac{5}{6}}$=k,
f(a)=$\frac{1}{2}$a2+2a2=$\frac{5}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$,
切點是(${e}^{\frac{5}{6}}$,$\frac{5}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$),切線是y=3${e}^{\frac{5}{6}}$x-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$,
令F(x)=f(x)-3${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$=$\frac{1}{2}$x2-${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$,
F′(x)=x-${e}^{\frac{5}{6}}$,
∴x∈(${e}^{\frac{5}{6}}$,+∞)時,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,x∈(0,${e}^{\frac{5}{6}}$)時,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,
∴F(x)≥F(${e}^{\frac{5}{6}}$)=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$-${e}^{\frac{5}{3}}$+$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$=0,
∴f(x)≥3${e}^{\frac{5}{6}}$x-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$恒成立.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用以及曲線的切線方程問題,是一道中檔題.
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