Question

11．已知a＞0，設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx．
（1）當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[1，t]內(nèi)無極值，求t的范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在某點(diǎn)處有相同的切線y=kx+b，試證明f（x）≥kx+b對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x都成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出t的范圍即可；
（2）分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，從而求出k的值，求出切線方程，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=e時(shí)，h（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ex-3e²lnx（x＞0），
h′（x）=x+2e-$\frac{{3e}^{2}}{x}$=$\frac{（x+3e）（x-e）}{x}$，
∴x=e是極值點(diǎn)，則t∈（1，e）；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，∴f′（x）=x+2a，
∵g（x）=3a²lnx，∴g′（x）=$\frac{{3a}^{2}}{x}$，
令x+2a=$\frac{{3a}^{2}}{x}$，∴（x+3a）（x-a）=0，
∴x=a或x=-3a（舍）時(shí)導(dǎo)數(shù)相等，
由a＞0時(shí)，f（a）=g（a）?$\frac{1}{2}$a²+2a²=3a²lna⇒a=${e}^{\frac{5}{6}}$，
f′（a）=g′（a）=3a=3${e}^{\frac{5}{6}}$=k，
f（a）=$\frac{1}{2}$a²+2a²=$\frac{5}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$，
切點(diǎn)是（${e}^{\frac{5}{6}}$，$\frac{5}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$），切線是y=3${e}^{\frac{5}{6}}$x-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$，
令F（x）=f（x）-3${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$=$\frac{1}{2}$x²-${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$，
F′（x）=x-${e}^{\frac{5}{6}}$，
∴x∈（${e}^{\frac{5}{6}}$，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，x∈（0，${e}^{\frac{5}{6}}$）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
∴F（x）≥F（${e}^{\frac{5}{6}}$）=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$-${e}^{\frac{5}{3}}$+$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$=0，
∴f（x）≥3${e}^{\frac{5}{6}}$x-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{5}{3}}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及曲線的切線方程問題，是一道中檔題．