Question

9．已知直線l經(jīng)過直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)P，且垂直于直線x+2y-1=0．
（1）求直線l的方程；
（2）若一束光線自點(diǎn)A（2，1）射向直線l，反射光線恰好過原點(diǎn)，求反射光線所在直線方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用所求直線l與x+2y-1=0垂直，可設(shè)直線l的方程為2x-y+C=0，代入P的坐標(biāo)，可求直線l的方程；
（2）根據(jù)反射的規(guī)律，A關(guān)于l的對稱點(diǎn)為A′在反射光線所在直線上，由A′、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出反射光線所在直線 A′B的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-2=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，2），
∵所求直線l與x+2y-1=0垂直，
∴可設(shè)直線l的方程為2x-y+C=0，
把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得2×（-2）-2+C=0，即C=6，
∴所求直線l的方程為2x-y+6=0；
（2）如圖示：
，
一束光線AB自點(diǎn)A（2，1）射向直線l交l于B，自B點(diǎn)射出，反射光線恰好過原點(diǎn)，即BO，
作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，設(shè)A′（a，b），則AA′的中點(diǎn)C在l上，
由根據(jù)反射的規(guī)律得：∠1=∠2，
根據(jù)對稱性得：∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴A′，B，原點(diǎn)O三點(diǎn)共線，A′O即反射光線所在直線，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+1}{2}=a+2+6}\\{\frac{b-1}{a-2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{26}{5}}\\{b=\frac{23}{5}}\end{array}\right.$，
∴A′O的斜率k=$\frac{\frac{23}{5}}{-\frac{26}{5}}$=-$\frac{23}{26}$，
故反射光線A′O所在的直線是：y=-$\frac{23}{26}$x．

點(diǎn)評 本題考查直線的位置關(guān)系，考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，以及用兩點(diǎn)式求直線方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．