已知兩點(diǎn)A（0，
3
），B（0，-
3
）．曲線G上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）使得直線PA、PB的斜率之積為3．
（Ⅰ）求G的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)C（0，-1）的直線與G相交于E、F兩點(diǎn)，且
CE
=2
CF
，求直線EF的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件得kAP=
y-
3
x
，kBP=
y+
3
x
（x≠0），從而kAPkBP=
y2-3
x2
=3(x≠0)，由此能求出點(diǎn)G的方程．
（Ⅱ）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），由
CE
=2
CF
，得x1=2x2．設(shè)EF的方程為y=kx-1，代入G的方程得：（k2-3）x2-2kx-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線EF的方程．
解答： 解：（Ⅰ）∵兩點(diǎn)A（0，
3
），B（0，-
3
）．
曲線G上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）使得直線PA、PB的斜率之積為3．
∴kAP=
y-
3
x
，kBP=
y+
3
x
（x≠0），
故kAPkBP=
y2-3
x2
=3(x≠0)，
化簡(jiǎn)得G的方程為：
y2
3
-x2=1(x≠0)．（4分）
（Ⅱ）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），由
CE
=2
CF
，得x1=2x2．（6分）
設(shè)EF的方程為y=kx-1，
代入G的方程得：（k2-3）x2-2kx-2=0，（8分）
x1+x2=
2k
k2-3
，x1x2=
-2
k2-3
，
又x1=2x2，3x2=
2k
k2-3
，2
x
2
2
=
-2
k2-3
，（10分）
將x2消去得k2=
27
13
，即k=±
3
39
13
，
故直線EF的方程為y=±
3
39
13
x-1．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線G的方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x），x∈[-1，3]的圖象如圖所示，令g（x）=
∫
x
-1
f（t）dt，x∈（-1，3]，則g（x）的圖象是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞c＞0，求證：（a+c）2＜a（3a+c）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察以下5個(gè)等式：
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
…
照以上式子規(guī)律：
（1）寫出第6個(gè)等式，并猜想第n個(gè)等式；（n∈N*）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立．（n∈N*）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-
π
3
）+sin2x-cos2x，
（1）求f（x）的對(duì)稱軸方程；
（2）用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖；
（3）若x∈[-
π
12
，
π
2
]，設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡(jiǎn)：
（1）
sin(540°-x)
tan(900°-x)
•
1
tan(450°-x)tan(810°-x)
•
cos(360°-x)
sin(-x)

（2）
sin(π-α)cos(3π-α)tan(-π-α)tan(α-2π)
tan(4π-α)sin(5π+α)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=2an-n，n∈N*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中數(shù)列{an}，若數(shù)列{bn}滿足bn=log2（an+1）（n∈N*），在bk與bk+1之間插入2k-1（k∈N*）個(gè)2，得到一個(gè)新的數(shù)列{cn}，試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)的和Tm=2013？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2x+4
4x+8

（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，恒有f（a）＜b2-3b+
21
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
5
5
，且A（0，1）是橢圓C的頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）作傾斜角為
π
4
的直線L，設(shè)以橢圓C的右焦點(diǎn)F為拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，若直線L與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=8，求直線L方程．

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