Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x+4

4x+8

（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，恒有f（a）＜b²-3b+

21

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f(x)=

24•2x

(2x)2+8

=

16

2x+ 8 2x

≤

16

2 2x• 8 2x

=2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2x=

8

2x

時(shí)取等號(hào)，求出f（x）的最大值即可；
（2）由（1）知f(a)≤2

2

，又因?yàn)?span id="svy9dwk" class="MathJye">b2-3b+

21

4

=(b-

3

2

)2+3≥3＞2

2

，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f（a）＜b2-3b+

21

4

成立．

解答： 解：（1）∵f(x)=

24•2x

(2x)2+8

=

16

2x+ 8 2x

≤

16

2 2x• 8 2x

=2

2

當(dāng)且僅當(dāng)2x=

8

2x

時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）的最大值為2

2

；
（2）由（1）知f(a)≤2

2

，
又∵b2-3b+

21

4

=(b-

3

2

)2+3≥3＞2

2

，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f（a）＜b2-3b+

21

4

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．