Question

9．已知函數(shù)f（x）=cosx，x∈（$\frac{π}{2}$，3π），若方程f（x）=m有三個從小到大排列的根x₁，x₂，x₃，且x₂²=x₁x₃，則m的值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出函數(shù)y=cosx的圖象和直線y=a，得兩個圖象在（$\frac{π}{2}$，3π）有三個交點A、B、C，滿足A、B關(guān)于x=π對稱且B、C關(guān)于x=2π對稱，結(jié)合三個根從小到大依次成等比數(shù)列列出橫坐標(biāo)x₁、x₂、x₃的方程組，解之可得x₂的值，從而得出實數(shù)m的值．

解答 解：同一坐標(biāo)系中作出y=cosx和y=m的圖象，
設(shè)兩個圖象在（$\frac{π}{2}$，3π）上有三個交點A、B、C，
則A、B、C的橫坐標(biāo)分別對應(yīng)方程f（x）=m的三個根，
得A（x₁，m），B（x₂，m），A（x₃，m），
根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對稱性，得$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=π，得x₁+x₂=2π，
且$\frac{{x}_{2}{+x}_{3}}{2}$=2π，x₂+x₃=4π，
∵三個根從小到大依次成等比數(shù)列，即x₂²=x₁x₃，
∴x₂²=（2π-x₂）（4π-x₂），解之得x₂=$\frac{4π}{3}$，
因此，x₁=$\frac{2π}{3}$，x₂=$\frac{4π}{3}$，x₃=$\frac{8π}{3}$，得m=cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題給出余弦曲線上三個點構(gòu)成兩組對稱的點，求該點的縱坐標(biāo)值，著重考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．