Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值；
（3）求證：對(duì)于任意的n∈N^*，且n＞1時(shí)，都有n-lnn＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{n-1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）≥0恒成立，即$\frac{1}{a}$≤x，x≥1上恒成立．
（2）分類討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)$\frac{1}{a}$與區(qū)間[1，2]位置，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值；
（3）a=1時(shí)，f（x）在x＞1單調(diào)遞增，利用累加法求證；

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$=$\frac{x-\frac{1}{a}}{{x}^{2}}$（x＞0）
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）≥0恒成立，即$\frac{1}{a}$≤x，x≥1上恒成立．
∴$\frac{1}{a}$≤1∴a≥1．
∴a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）i．若$\frac{1}{a}≤1$ 即a≥1時(shí)，x∈（1，2）時(shí)，f'（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[1，2]單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$．
ii．若$\frac{1}{a}≥2$，x∈[1，2]時(shí)，f'（x）＜0恒成立．
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=0．
iii．當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$＜2時(shí)，
當(dāng)x∈[1，$\frac{1}{a}$]時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈[$\frac{1}{a}$，2]時(shí)，f'（x）＞0
f（x）在x∈[1，$\frac{1}{a}$]單調(diào)遞減，在x∈[$\frac{1}{a}$，2]單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[1，2]，f_max（x）=max{f（1），f（2）}，f（1）=0，f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$，
①當(dāng)$\frac{1}{2ln2}＜a＜1$ 時(shí)，f（2）＞f（1），${f}_{max}（x）=f（2）=ln2-\frac{1}{2a}$．
②當(dāng)a=$\frac{1}{2ln2}$時(shí)，f（2）=f（1）=0，f_max（x）=f（1）=0．
③當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2ln2}$時(shí)，f（1）＞f（2），f_max（x）=f（1）=0．
綜上所述，在x∈[1，2]時(shí)
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2ln2}$時(shí)，f_max（x）=f（1）=0．
當(dāng)a=$\frac{1}{2ln2}$時(shí)，f（2）=f（1）=0，f_max（x）=f（1）=0．
當(dāng)a＞$\frac{1}{2ln2}$時(shí)，${f}_{max}（x）=f（2）=ln2-\frac{1}{2a}$．
證明：（3）由①知，a=1時(shí)，f（x）在x＞1單調(diào)遞增
∴l(xiāng)nx+$\frac{1-x}{x}$＞f（1）=0（x＞1）
∴l(xiāng)nx＞$\frac{x-1}{x}$（x＞1）
設(shè)x=$\frac{n+1}{n}$∴l(xiāng)n（n+1）-lnn＞$\frac{1}{n+1}$．
∴l(xiāng)n2-ln1＞$\frac{1}{2}$，
ln3-ln2＞$\frac{1}{3}$，
…
lnn-ln（n-1）=$\frac{1}{n}$，
左邊累加與右邊累加后有：
ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴l(xiāng)nn＞$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴n-lnn＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{n-1}{n}$（n＞1，n∈N⁺）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，分類討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)位置，函數(shù)最值以及累加法，屬綜合題．