Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos²$\frac{A-B}{2}$cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-$\frac{3}{5}$，a=4$\sqrt{2}$，b=5，則向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $-\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 使用二倍角公式和兩角和的余弦公式化簡即可得到cosA，使用正弦定理，余弦定理求出c，代入向量的投影公式即可．

解答 解：∵2cos²$\frac{A-B}{2}$cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-$\frac{3}{5}$，
∴（1+cos（A-B））cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-$\frac{3}{5}$，
即cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=-$\frac{3}{5}$．
∴cosA=-$\frac{3}{5}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∵a=4$\sqrt{2}$，b=5，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
∴sinB=$\frac{5×\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$
由余弦定理可得，
c²=b²+a²-2bacosC=32+25-2×4$\sqrt{2}$×5×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=1，
∴c=1，
∴向量$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影為|$\overrightarrow{BC}$|cosB=ccosB=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：A

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，向量的投影，正弦定理，余弦定理，屬于中檔題．