Question

17．（實驗班）設(shè)動點P（x，y）到定點F（$\frac{1}{2}$，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大$\frac{1}{2}$．記點P的軌跡為曲線C．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在P（x≥0）的軌跡上，BD是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)圓心M運(yùn)動時弦長BD是否為定值？說明理由；
（3）過F（$\frac{1}{2}$，0）作互相垂直的兩直線交曲線C（x≥0）于G、H、R、S，求四邊形GRHS面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由兩點間距離公式和點到直線的距離公式得到$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-0）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=|x|，由此能求出點P的軌跡方程．
（2）設(shè)圓心M（$\frac{{a}^{2}}{2}$，a），半徑r=$\sqrt{（1-\frac{{a}^{2}}{2}）^{2}+{a}^{2}}$，由此得到圓的方程，從而得到弦長|BD|為定值．
（3）設(shè)過F的直線方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{{k}^{2}}{4}$=0，由此利用韋達(dá)定理、兩點間距離公式能求出四邊形GRHS面積的最小值．

解答 解：（1）∵設(shè)動點P（x，y）到定點F（$\frac{1}{2}$，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-0）^{2}}$-$\frac{1}{2}$=|x|，
當(dāng)x≥0時，整理得y²=2x，
當(dāng)x＜0時，整理，得y²=0．
∴點P的軌跡方程為${y}^{2}=\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）∵圓心M在拋物線y²=2x上，可設(shè)圓心M（$\frac{{a}^{2}}{2}$，a），半徑r=$\sqrt{（1-\frac{{a}^{2}}{2}）^{2}+{a}^{2}}$，
圓的方程為（x-$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+（y-a）²=（1-$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+a²，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），∴|BD|=2，∴弦長|BD|為定值．
（3）設(shè)過F的直線方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{{k}^{2}}{4}$=0，
由韋達(dá)定理得${x}_{1}+{x}_{2}=1+\frac{2}{{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}$，
∴|GH|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
同理|RS|=2+2k²．
∴四邊形GRHS的面積T+$\frac{1}{2}（2+\frac{2}{{k}^{2}}）（2+2{k}^{2}）$=2（2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）≥8，
即四邊形GRHS面積的最小值為8．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查弦長是否為定值的判斷與求法，考查四邊形面積的最小值的求法，是中檔題，注意韋達(dá)定理、兩點間距離公式的合理運(yùn)用．