Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(

1

2

x+θ)-

3

cos(

1

2

x+θ)(|θ|＜

π

2

)，且其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)y=f（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（　�。�

• A、(0，

  π

  2

  )
• B、(

  π

  2

  ，π)
• C、(-

  π

  2

  ，-

  π

  4

  )
• D、(

  3π

  2

  ，2π)

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由題意和正弦函數(shù)的對(duì)稱軸求出θ的值，代入解析式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合答案項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：由題意得，
f（x）=2[

1

2

sin（

1

2

x+θ）-

3

2

cos（

1

2

x+θ）]=2sin（

1

2

x+θ-

π

3

），
∵圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴θ-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
又∵|θ|＜

π

2

，∴當(dāng)k=-1時(shí)，θ=-

π

6

滿足題意，
∴f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

-

π

3

）=2sin（

1

2

x-

π

2

）=-2cos

1

2

x，
由2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ可得4kπ-2π≤x≤4kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[-2π，0]，
當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[2π，4π]，
所以A、B、D不正確；C正確，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查輔助角公式、兩角差的正弦公式，誘導(dǎo)公式，以及正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．