給出以下命題其中正確的序號(hào)為
 

(1)直線y=kx+1-4k和圓x2+y2-6x-4y+9=0的位置與k的取值有關(guān);
(2)橢圓
x2
9
+
y2
4
=1
不存在以M(2,0)為中點(diǎn)的弦;
(3)雙曲線x2-
y2
2
=1不存在以P(1,1)為中點(diǎn)的弦;
(4)若拋物線y2=4x與直線y=k(x+2)有且只有一個(gè)交點(diǎn),則k=0或k=
2
2
或k=-
2
2
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:判斷直線y=kx+1-4k恒過(guò)定點(diǎn)A(4,1),A與圓的位置關(guān)系,即可判斷(1);
假設(shè)存在以M(2,0)為中點(diǎn)的弦AB,設(shè)出A,B的坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)斜邊公式,
可得直線AB,即可判斷(2);
假設(shè)雙曲線x2-
y2
2
=1存在以P(1,1)為中點(diǎn)的弦CD,運(yùn)用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、
斜率公式以及直線方程的形式,注意檢驗(yàn),即聯(lián)立雙曲線方程,由判別式的符號(hào)即可判斷(3);
對(duì)k討論,k=0和k≠0,由直線與拋物線相切時(shí),聯(lián)立方程,運(yùn)用判別式為0,即可判斷(4).
解答: 解:對(duì)于(1),直線y=kx+1-4k恒過(guò)定點(diǎn)A(4,1),圓x2+y2-6x-4y+9=0的圓心為C(3,2),
半徑為2,由于|AC|=
2
<2,即有A在圓內(nèi),則直線和圓恒相交,則(1)錯(cuò);
對(duì)于(2),假設(shè)存在以M(2,0)為中點(diǎn)的弦AB,可設(shè)A(a,b),B(c,d),
則a+c=4,b+d=0,且
a2
9
+
b2
4
=1,
c2
9
+
d2
4
=1,兩式相減可得
(a-c)(a+c)
9
+
(b-d)(b+d)
4
=0,
即有a=c=2,AB垂直于x軸,故存在,則(2)錯(cuò);
對(duì)于(3),假設(shè)雙曲線x2-
y2
2
=1存在以P(1,1)為中點(diǎn)的弦CD,則可設(shè)C(m,n),D(p,q),
則m+p=2,n+q=2,且m2-
n2
2
=1,p2-
q2
2
=1,兩式相減可得(m-p)(m+p)=
(n-q)(n+q)
2
,
即有kCD=
n-q
m-p
=2,則直線CD:y=2x-1,聯(lián)立雙曲線方程可得2x2-4x+6=0,判別式為16-4×2×6<0,
則直線不存在,則(3)對(duì);
對(duì)于(4),若拋物線y2=4x與直線y=k(x+2)有且只有一個(gè)交點(diǎn),則當(dāng)k=0,即y=0與拋物線交于頂點(diǎn),
當(dāng)k≠0,直線與拋物線相切時(shí),聯(lián)立兩方程,消去y,可得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0,
由△=16(k2-1)2-16k4=0,解得k=±
2
2
,則k=0或±
2
2
,則(4)對(duì).
故答案為:(3)(4).
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷,考查圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題,考查直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題和易錯(cuò)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

計(jì)算:
n+l
n
+
n
n+l
=2+2(
1
n
-
1
n+l
).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)x,y滿足約束條件
x+y≤1
x+1≥0
x-y≤1
,則目標(biāo)函數(shù)z=
y
x+2
的取值范圍為( 。
A、[-3,3]
B、[-3,-2]
C、[-2,2]
D、[2,3]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(
1
2
x+θ)-
3
cos(
1
2
x+θ)(|θ|<
π
2
)
,且其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是( 。
A、(0,
π
2
)
B、(
π
2
,π)
C、(-
π
2
,-
π
4
)
D、(
2
,2π)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在三棱錐A-BCD中,M為CD的中點(diǎn),則
AB
+
1
2
BD
+
BC
)=( 。
A、
AM
B、
CM
C、
BC
D、
1
2
BC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,a2tanB=b2tanA,試判斷三角形的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知m>0,(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,若a1+a2+…+a6=63,則實(shí)數(shù)m=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

從某批次的燈泡中隨機(jī)地抽取200個(gè)樣品,對(duì)其使用壽命進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢測(cè),將結(jié)果列成頻率分布表如下.根據(jù)壽命將燈泡分成一等品、合格品和次品三個(gè)等級(jí),其中壽命大于或等于500天的燈泡是一等品,壽命小于300天的燈泡是次品,其余的燈泡是合格品.
壽命(天)頻數(shù)頻率
[100,200)20a
[200,300)300.15
[300,400)b0.35
[400,500)300.15
[500,600)500.25
合計(jì)2001
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù),寫出a,b的值;
(Ⅱ)從燈泡樣品中隨機(jī)地取n(n∈N*)個(gè),如果這n個(gè)燈泡的等級(jí)分布情況恰好與從這200個(gè)樣品中按三個(gè)等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同,求n的最小值;
(Ⅲ)從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地取3個(gè)進(jìn)行使用,若將上述頻率作為概率,用ξ表示3個(gè)燈泡中次品的個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義運(yùn)算:a*b=
a,a≤b
b,a>b
,則函數(shù)f(x)=1*2x的圖象大致為( 。
A、
B、
C、
D、

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同步練習(xí)冊(cè)答案