Question

10．定義在（1，+∞）上的函數f（x）同時滿足：
①對任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；
②當x∈（1，3]時，f（x）=3-x．
記函數g（x）=f（x）-k（x-1），若函數g（x）恰好有兩個零點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． （2，3）
• B． [2，3）
• C． $（{\frac{9}{4}，3}）$
• D． $[{\frac{9}{4}，3}）$

Answer 1

分析 根據題中的條件得到函數的解析式為：f（x）=3^m+1-x，x∈（3^m，3^m+1]，在直角坐標系中畫出f（x）的圖象和直線y=k（x-1），根據函數的圖象、題意、斜率公式求出實數k的范圍．

解答 解：因為對任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，
所以f（t）=3f（$\frac{t}{3}$），
取x∈（3^m，3^m+1]，則$\frac{x}{{3}^{m}}$∈（1，3]，
因為當x∈（1，3]時，f（x）=3-x，
所以f（$\frac{x}{{3}^{m}}$）=3-$\frac{x}{{3}^{m}}$，則f（x）=…=3^mf（$\frac{x}{{3}^{m}}$）=3^m+1-x，
且y=k（x-1）的函數圖象是過定點（1，0）的直線，
在直角坐標系中畫出f（x）的圖象和直線y=k（x-1）：
因為函數g（x）=f（x）-k（x-1），且函數g（x）恰好有兩個零點，
所以f（x）的圖象和直線y=k（x-1）恰好由兩個交點，
由圖得，直線y=k（x-1）處在兩條紅線之間，且過（3，6）的直線取不到，
因$\frac{6-0}{3-1}=3$，$\frac{18-0}{9-1}=\frac{9}{4}$，所以k的范圍是[$\frac{9}{4}$，3），
故選：D．

點評 本題考查了求函數解析式的方法，函數的圖象與函數的性質，以及函數零點的轉化，考查了數形結合思想，化簡、變形能力，屬于難題．