Question

1．在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題．
（1）在圓x²+y²=r²（r＞0）中，AB為圓的任意一條直徑，C為圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線AC與BC的斜率k_AC、k_BC存在時(shí)，求k_AC•k_BC的值；
（2）在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$中，AB為過橢圓中心的任意一條弦，C為橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線AC與BC的斜率k_AC、k_BC存在時(shí)，求k_AC•k_BC的值；
（3）直接寫出橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$中類似的結(jié)論（不用證明）．

Answer 1

分析 （1）直線AC⊥BC，k_AC•k_BC的=-1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），則B（-x₁，-y₁），k_AC•k_BC=$\frac{y_0^2-y_1^2}{x_0^2-x_1^2}$，
又由$\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，兩式相減得$\frac{{{x_0}^2-{x_1}^1}}{9}+\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{4}=0$，即可．

解答 解：（1）圓x²+y²=r²（r＞0）中，AB為圓的任意一條直徑，C為圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線AC與BC，
有直線AC⊥BC，k_AC•k_BC=-1…..（4分）；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），P（x₀，y₀），則B（-x₁，-y₁），k_AC•k_BC=$\frac{y_0^2-y_1^2}{x_0^2-x_1^2}$，
又由$\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_1}^2}}{9}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，
兩式相減得$\frac{{{x_0}^2-{x_1}^1}}{9}+\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{4}=0$，
所以k_AC•k_BC=$-\frac{4}{9}$…（9分）
（3）k_AC•k_BC=-$\frac{b^2}{a^2}$．…（12分）．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．