Question

1．給出下列命題：
①命題“若x≠1，則x²-3x+2≠0”的逆否命題是“若x²-3x+2=0，則x≠1”；
②已知兩圓A：（x+1）²+y²=1，圓B：（x-1）²+y²=25，動(dòng)圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓；
③若向量$\overrightarrow b=（{3，m}）$在$\overrightarrow a=（{1，\sqrt{3}}）$方向上的投影為3，則實(shí)數(shù)$m=\sqrt{3}$；
④在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足${S_{n+1}}=\frac{1}{2}{S_n}+2$，則{a_n}是等比數(shù)列．
其中正確的命題序號(hào)是②③④．

Answer 1

分析 寫(xiě)出原命題的逆否命題，可判斷①；根據(jù)橢圓的定義，可判斷②；根據(jù)平面向量投影的定義，可判斷③；根據(jù)等比數(shù)列的定義，可判斷④．

解答 解：①命題“若x≠1，則x²-3x+2≠0”的逆否命題是“若x²-3x+2=0，則x=1”，故錯(cuò)誤；
②已知兩圓A：（x+1）²+y²=1，圓B：（x-1）²+y²=25，動(dòng)圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，
則動(dòng)圓心到（-1，0）和（1，0）兩點(diǎn)的距離和為定值6，
則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓；故正確；
③若向量$\overrightarrow b=（{3，m}）$在$\overrightarrow a=（{1，\sqrt{3}}）$方向上的投影為3，
則$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$=$\frac{3+\sqrt{3}m}{2}$=3，解得$m=\sqrt{3}$；故正確；
④在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)和，且滿足${S_{n+1}}=\frac{1}{2}{S_n}+2$，
則當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n}=\frac{1}{2}{S}_{n-1}+2$，
兩式相減得：a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
則{a_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．故正確；
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了四種命題，橢圓的定義，向量的投影，等比數(shù)列的定義，難度中檔．