Question

已知函數(shù)，且的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行.
（1）求的值；
（2）若存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)與公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，我們把的值稱為兩函數(shù)在處的偏差，求證：函數(shù)與在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2

Answer 1

（1）；（2）的取值范圍是；（3）見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）先求出的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，然后利用在此點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等求解；（2）將題意轉(zhuǎn)化為在時(shí)有解，即，利用導(dǎo)數(shù)求出在的最小值即可求得的取值范圍；（3）兩種方法；法一，公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/46/8/pmtta2.png" style="vertical-align:middle;" />，令在利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，再利用基本不等式可得結(jié)果.法二，當(dāng)時(shí)，先證再證，兩式相加即得.
試題解析：（1）的圖像與軸的交點(diǎn)為，
的圖像與軸的交點(diǎn)為，又，，3分
（2）存在使不等式成立，即在時(shí)有解，
則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4d/c/k8la62.png" style="vertical-align:middle;" />，又由均值不等式得在上單調(diào)遞增，所以
故所求的取值范圍是                    8分
（方法一）（3）公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/46/8/pmtta2.png" style="vertical-align:middle;" />，令
則在單調(diào)遞增，又
故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，
所以
所以故結(jié)論成立                                 12分
（方法二推薦）當(dāng)時(shí)，先證再證，兩式相加即得
證明方法構(gòu)造函數(shù)所以在單調(diào)增，
所以，同理可以證明，相加即得.
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、基本不等式.