Question

11．已知f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R），g（x）=x+$\frac{1}{x}$+4（x＜0）
（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）對(duì)?x₁∈R，?x₂∈（-∞，0）有f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x范圍，求出不等式的解集即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥g（x）_max，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解（1）因?yàn)閍=3，所以有|x-1|+|x-3|≥4，
當(dāng)x≤1時(shí)，有4-2x≥4，所以x≤0，
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，有2≥4，
當(dāng)x≥3時(shí)，有2x-4≥4，所以x≥4，
綜上所述，原不等式的解集為{x|x≤0或x≥4}．
（2）由題意可得f（x）_min≥g（x）_max，
又f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，
g（x）≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，
所以有|a-1|≥2即a的取值范圍時(shí)a≥3或a≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查函數(shù)最值問(wèn)題，是一道中檔題．