設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足xf′（x）≤f（x），對任意的正數(shù)a，b（a≤b），
有下列四個命題：
①af（a）≤bf（b）；
②af（a）≥bf（b）；
③af（b）≥bf（a）；
④af（b）≤bf（a）中，
真命題的個數(shù)是
 
．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=
f(x)
x
（x＞0）．利用導數(shù)和已知xf′（x）≤f（x），即可得出單調(diào)性，進而判斷出．
解答： 解：∵xf′（x）≤f（x），
令g（x）=
f(x)
x
（x＞0）．
則g′（x）=
xf′(x)-f(x)
x2
≤0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∵0＜a≤b，
∴g（a）≥g（b），
∴
f(a)
a
≥
f(b)
b
，
即bf（a）≥af（b）．
只有④正確．
故答案為：1．
點評：本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法，考查了推理能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）設(shè)f（x）=
e x-e -x
2
 ，g（x）=
ex+e-x
2
，證明：f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）若xlog34=1，求4x+4-x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為
1
2
，乙每次擊中目標的概率為
2
3
．
（1）求乙至多擊中目標2次的概率；
（2）記甲擊中目標的次數(shù)為Z，求Z的分布列、數(shù)學期望和標準差．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩條直線l1：x-y+4=0與l2：2x+y+2=0的交點P，求滿足下列條件的直線方程．
（1）過點P且過原點的直線方程；
（2）過點P且平行于直線l3：x-2y-1=0的直線l方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)集合A={x|x是銳角}，B=（0，1），從A到B的映射是“求正弦”，則與A中元素60°相對應(yīng)的B中的元素是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一只螞蟻在三邊長分別為3、4、5的三角形面內(nèi)爬行，某時間該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，水平放置的直三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=loga（2013-ax）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）在區(qū)間[0，
π
2
]上的值域為
 
．

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