分析 (1)由題意可得:bn=a2n+1,則b1=a2+1,b1=2(t+1)≠0,$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2({n+1})}}+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{({2{a_{2n+1}}+2n+1})+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{[{2({{a_{2n}}-n})+2n+1}]+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{2({{a_{2n}}+1})}}{{{a_{2n}}+1}}=2$,數(shù)列{a2n+1}是等比數(shù)列;
(2)${a_{2n}}=({t+1})•{2^n}-1=2{a_{2n-1}}+2n-1$,求得a2n-1,${a_{2n-1}}+{a_{2n}}=3({t+1})•{2^{n-1}}-n-1$,分組即可求得S2n=$3({t+1})•({1+2+…+{2^{n-1}}})-({1+2+…+n})-n=3({t+1})•({{2^n}-1})-\frac{{n({n+3})}}{2}$,①當(dāng)t=1時,${S_{2n}}=6({{2^n}-1})-\frac{{n({n+3})}}{2}=3×{2^{n+1}}-\frac{{n({n+3})}}{2}-6$,
②${S_{2n}}-{S_{2n-2}}=3({t+1})•{2^{n-1}}-n-1>0$對n≥2且n∈N*恒成立,即$3({t+1})>\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$,設(shè)${P_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}},n≥2$,利用作差法,可得{Pn}在n≥2且n∈N*單調(diào)遞減,$3({t+1})>\frac{3}{2}$,即可求得t的取值范圍.
解答 解:(1)證明:設(shè)bn=a2n+1,則b1=a2+1,
∵a2=2a1+1=2t+1,
∴b1=2(t+1)≠0,…(1分)
∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{2({n+1})}}+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{({2{a_{2n+1}}+2n+1})+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{[{2({{a_{2n}}-n})+2n+1}]+1}}{{{a_{2n}}+1}}=\frac{{2({{a_{2n}}+1})}}{{{a_{2n}}+1}}=2$,…(3分)
∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列,故數(shù)列{a2n+1}是等比數(shù)列,…(4分)
∴${b_n}={b_1}•{2^{n-1}}=2({t+1})•{2^{n-1}}=({t+1})•{2^n}$,
∴${a_{2n}}=({t+1})•{2^n}-1$,…(6分)
(2)由(1)得,${a_{2n}}=({t+1})•{2^n}-1=2{a_{2n-1}}+2n-1$,
∴${a_{2n-1}}=({t+1})•{2^{n-1}}-n$,…(7分)
∴${a_{2n-1}}+{a_{2n}}=3({t+1})•{2^{n-1}}-n-1$,…(8分)
∴S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n),
=$3({t+1})•({1+2+…+{2^{n-1}}})-({1+2+…+n})-n=3({t+1})•({{2^n}-1})-\frac{{n({n+3})}}{2}$,…(10分)
①當(dāng)t=1時,
∴${S_{2n}}=6({{2^n}-1})-\frac{{n({n+3})}}{2}=3×{2^{n+1}}-\frac{{n({n+3})}}{2}-6$;…(11分)
②∵{S2n}單調(diào)遞增,
∴${S_{2n}}-{S_{2n-2}}=3({t+1})•{2^{n-1}}-n-1>0$對n≥2且n∈N*恒成立,…(12分)
即$3({t+1})>\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}$,設(shè)${P_n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}},n≥2$,
則${P_{n+1}}-{P_n}=\frac{n+2}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}=\frac{-n}{2^n}<0$,
∴{Pn}在n≥2且n∈N*單調(diào)遞減,…(14分)
∵${P_2}=\frac{3}{2}$,
∴$3({t+1})>\frac{3}{2}$,即$t>-\frac{1}{2}$,
故t的取值范圍為$({-\frac{1}{2},+∞})$.…(16分)
點評 本題考查等比數(shù)列的證明,數(shù)列前n項和的求法,考查構(gòu)造輔助函數(shù)及作差法求數(shù)列的單調(diào)性,考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | 30° | B. | 60° | C. | 120° | D. | 150° |
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