Question

5．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=x²-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，a]（a∈R）上的值域．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，從而可求得x＜0時的解析式，最后用分段函數(shù)表示函數(shù)f（x）的解析式即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，先畫出圖象，然后對a（要考慮函數(shù)的解析式及單調(diào)性）進行分類討論即可求出函數(shù)的值域

解答 解：（1）令x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x．
當x=0時，f（x）=x²-2x=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x}^{2}-2x，x≤0\\{x}^{2}-2x，x＞0\end{array}\right.$．
（2）f（x）的圖象的圖象如下圖所示：
f（-1）=1，由 f（x）=1，x＞0得x=1+$\sqrt{2}$．
①當-1＜a≤1時，函數(shù)在[-1，a]單調(diào)遞減，值域為[f（a），1]．
又x＞0，f（x）=x²-2x，x＜0，f（x）=-x²-2x．
則-1＜a≤0時，值域為[-a²-2a，1]，0＜a≤1時，值域為[a²-2a，1]．
②當1＜a≤1+$\sqrt{2}$時，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增．
最小值在x=1處取得，最大值在x=-1處取得，此時值域為[-1，1]．
③當a＞1+$\sqrt{2}$時，函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減，在[1，a]是單調(diào)遞增．
最大值在x=1處取得，最小值在x=a處取得．
此時函數(shù)的值域為[-1，a²-2a]．
綜上所述：當-1＜a≤0時，值域為[-a²-2a，1]；
          當0＜a≤1時，值域為[a²-2a，1]；
          當1＜a≤1+$\sqrt{2}$時，值域為[-1，1]；
          當a＞1+$\sqrt{2}$時，函數(shù)的值域為[-1，a²-2a]．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．