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【題目】已知拋物線的焦點坐標為

1)求拋物線方程;

2)過直線上一點作拋物線的切線切點為A,B

①設直線PA、AB、PB的斜率分別為,求證:成等差數列;

②若以切點B為圓心r為半徑的圓與拋物線C交于D,E兩點且D,E關于直線AB對稱,求點P橫坐標的取值范圍.

【答案】1;(2)①證明見解析;②.

【解析】

1)根據焦點求出p即可寫出拋物線方程;(2)①設,利用導數的幾何意義用、表示出、,再用表示出,由即可證明;求出直線AP、直線BP的方程,聯立求出兩直線的交點坐標P,由點P在直線上進一步化簡直線AP的方程,聯立拋物線方程與直線DE的方程得到關于x的一元二次方程,根據題意,再由點H在直線AB上將不等式轉化為關于t的不等式求解即可.

(1)由題意知,,拋物線方程為

2)①設,

因為,,所以,所以,

,,

所以,即成等差數列.

直線AP的方程為,

同理直線BP的方程為,

則兩直線的交點坐標,

代入直線,得①,

直線AB方程為

①式代入上式可得,

因為,所以直線AB方程為,

1)若則拋物線上不存在兩點關于直線AB對稱,

2)若,設為拋物線上關于直線AB對稱的兩點,

此時

DE方程為DE與直線AB交于點,

,,

所以,,

因為H點在直線AB上,

所以代入式得,解得

練習冊系列答案
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