Question

【題目】已知拋物線的焦點坐標為

（1）求拋物線方程；

（2）過直線上一點作拋物線的切線切點為A，B

①設直線PA、AB、PB的斜率分別為，求證：成等差數列；

②若以切點B為圓心r為半徑的圓與拋物線C交于D，E兩點且D，E關于直線AB對稱，求點P橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）根據焦點求出p即可寫出拋物線方程；（2）①設，利用導數的幾何意義用、表示出、，再用、表示出，由即可證明；②求出直線AP、直線BP的方程，聯立求出兩直線的交點坐標P，由點P在直線上進一步化簡直線AP的方程，聯立拋物線方程與直線DE的方程得到關于x的一元二次方程，根據題意，再由點H在直線AB上將不等式轉化為關于t的不等式求解即可.

（1）由題意知，，拋物線方程為；

（2）①設，

因為，，所以，所以，，

則，，

所以，即成等差數列．

②直線AP的方程為，

同理直線BP的方程為，

則兩直線的交點坐標，

代入直線，得①，

直線AB的方程為，

①式代入上式可得，

因為，所以直線AB的方程為，

1）若則拋物線上不存在兩點關于直線AB對稱，

2）若，設為拋物線上關于直線AB對稱的兩點，

此時

設DE方程為，DE與直線AB交于點，

，

，，

所以，，

因為H點在直線AB上，

所以代入式得，解得．