Question

17．直線y=a分別與函數(shù)y=4x+4和y=3x+lnx的圖象相交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． 1
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)M（x₁，a），N（x₂，a），則4x₁+4=3x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|MN|，利用導(dǎo)數(shù)求出|MN|的最小值．

解答 解：設(shè)M（x₁，a），N（x₂，a），
則4x₁+4=3x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{4}$（3x₂+lnx₂-4），
∴|MN|=x₂-x₁=$\frac{1}{4}$（x₂-lnx₂）+1，
令y=$\frac{1}{4}$（x-lnx）+1，
則y′=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{x}$），
函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，函數(shù)的最小值為$\frac{5}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間距離的最小值的求法，是中檔題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．