Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx-x，x＞0}\\{-ln（-x）+x，x＜0}\end{array}\right.$，則關(guān)于m的不等式f（$\frac{1}{m}$）＜ln$\frac{1}{2}$-2的解集為（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 可判斷f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性解不等式．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=-ln（-（-x））-x=-lnx-x=f（x），
故f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-lnx-x為減函數(shù)，
而ln$\frac{1}{2}$=-ln2-2=f（2），
故f（$\frac{1}{m}$）＜ln$\frac{1}{2}$-2=f（2），
故$\frac{1}{m}$＞2，
故0＜m＜$\frac{1}{2}$；
由f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)知，
-$\frac{1}{2}$＜m＜0；
綜上所述，m∈（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想方法應(yīng)用．