Question

2．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，Q是棱PA上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）若Q是PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDQ；
（2）若PB=PD，求證：BD⊥CQ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OQ，證明OQ∥PC．即可利用直線與平面平行的判定定理證明PC∥平面BDQ．
（2）連結(jié)OP．說明BD⊥AC，BD⊥PO，然后證明BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥CQ．

解答 證明：（1）設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OQ．（1分）
因?yàn)?nbsp;底面ABCD為菱形，
所以 O為AC中點(diǎn)．
因?yàn)?nbsp;Q是PA的中點(diǎn)，
所以 OQ∥PC．（4分）
因?yàn)?nbsp;OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．（5分）
（2）連結(jié)OP．（6分）
因?yàn)?nbsp;底面ABCD為菱形，
所以 BD⊥AC，O為BD中點(diǎn)．（8分）
因?yàn)?nbsp;PB=PD，
所以 BD⊥PO．（10分）
又因?yàn)椋篈O∩AC=0，
所以 BD⊥平面PAC．（11分）
因?yàn)?nbsp;CQ?平面PAC，
所以BD⊥CQ．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．