Question

8．如圖（1）所示，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，如圖（2）所示，求這個正六棱柱容器容積最大值．

Answer 1

分析 要求正六棱柱容器的容積最大，得需要得出容積表達(dá)式；由柱體的體積公式知，底面積是正六邊形，是六個全等小正△的和，高是Rt△中60°角所對的直角邊，由高和底面積得出容積函數(shù)，用求導(dǎo)法可以求出最大值時的自變量取值．

解答 解：如圖示：
，
設(shè)底面六邊形的邊長為x，高為d，則
d=$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$（1-x）； 又底面六邊形的面積為：
S=6•$\frac{1}{2}$•x²•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x²；所以，這個正六棱柱容器的容積為：
V=Sd=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x²•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-x）=$\frac{9}{4}$（x²-x³），則對V求導(dǎo)，則
V′=$\frac{9}{4}$（2x-3x²），令V′=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{2}{3}$時，V′＞0，V是增函數(shù)；當(dāng)x＞$\frac{2}{3}$時，V′＜0，V是減函數(shù)；
∴x=$\frac{2}{3}$時，V有最大值，最大值是：$\frac{1}{3}$．

點評 本題通過建立體積函數(shù)表達(dá)式，由求導(dǎo)的方法求函數(shù)最大值，是比較常用的解題思路，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．