Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜

π

2

）的一系列對應(yīng)值如下表：

x	…	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6	…
y	…	-2	0	2	0	-2	0	2	…

（Ⅰ）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（kx）（k＜0）的最小正周期為

2π

3

，且當(dāng)x∈[0，

4π

9

）時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并求這兩個實(shí)數(shù)解的和．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由圖表求得A，T，從而求得ω，代入某一點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）由函數(shù)f（kx）（k＜0）的最小正周期為

2π

3

求得k的值，結(jié)合x∈[0，

4π

9

）求得m的范圍，再由對稱性求得兩個實(shí)數(shù)解的和．

解答： 解：（Ⅰ）由圖表得，A=2，T=

11π

6

-(-

π

6

)=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x+φ），
由|φ|＜

π

2

，且f（

π

3

）=0，得2sin（

π

3

+φ）=0，
∴φ=-

π

3

．
∴f（x）=2sin（x-

π

3

）；
（Ⅱ）f（kx）=2sin（kx-

π

3

），
由函數(shù)f（kx）（k＜0）的最小正周期為

2π

3

，得

2π

|k|

=

2π

3

，
∴k=-3，
∴f（kx）=2sin（-3x-

π

3

），
∵x∈[0，

4π

9

），
∴-3x-

π

3

∈(-

5π

3

，-

π

3

]，
∴方程f（kx）=m恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1，-

3

2

]∪(

3

2

，1)．
由對稱性可知，兩個實(shí)數(shù)解得和為：

π

6

或

7π

6

．

點(diǎn)評：本題考查了Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，屬中檔題．