如圖半圓O的直徑為2，A點(diǎn)在直徑的延長線上，且OA=2，B點(diǎn)為半圓周上的任意一點(diǎn)，以AB為邊作一個等邊△ABC，問B點(diǎn)在什么位置時，四邊形OABC的面積最大？并求出此時的四邊形面積．
考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理
專題：解三角形
分析：設(shè)四邊形OABC的面積為S，∠AOB=θ，表示出三角形AOB與三角形ABC面積，相加即為四邊形OABC面積，利用正弦函數(shù)的值域確定出面積的最大值，以及此時∠AOB的度數(shù)．
解答： 解：設(shè)四邊形OABC的面積為S，∠AOB=θ，
∵OA=OB=2，
∴S△AOB=
1
2
OA•OB•sinθ=sinθ，
∵△ABC為等邊三角形，
∴S△ABC=
1
2
AB2sinθ，
在△AOB中，由余弦定理得：AB2=OB2+OA2-2OB•OA•cosθ=5-4cosθ，
∴S△ABC=
3
4
（5-4cosθ），
則S=S△AOB+S△ABC=sinθ+
3
4
（5-4cosθ）=2sin（θ-
π
3
）+
5
3
4
，
當(dāng)θ-
π
3
=
π
2
，即θ=
5π
6
時，S有最大值為2+
5
3
4
，
則當(dāng)∠AOB=
5π
6
時，四邊形面積最大，最大面積為2+
5
3
4
．
點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
2x
x2+6
．
（1）若f（x）＞k的解集為{x|x＜-3或x＞-2}，求k的值；
（2）若對任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=2，a2=3，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n≥2，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=4n+（-1）n-1λ•2bn=4n+（-1）n-1λ•2 an（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若關(guān)于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集為(-
1
2
，
1
3
)，其中a，b為常數(shù)，則不等式2x2+bx+a＜0的解集是（　�。�
A、（-3，2）
B、（-2，2）
C、（-2，3）
D、（-3，3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，且函數(shù)F（x）=f（x+1）的圖象關(guān)于y軸對稱，則（　�。�
A、f（-1）＞f（2）
B、f（0）＞f（2）
C、f（-2）=f（2）
D、f（-4）=f（2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5•a6=9，則log3a1+log3a10=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列結(jié)論正確的是（　�。�
A、若ac≤bc，則a≤b
B、若a2≥b2，則a≥b
C、若a＜b，c＜0，則 a-c＞b-c
D、若
a
≥
b
，則a≥b

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=1，b=
3
，A+C=2B，則sinC=（　�。�
A、1
B、
3
3
C、
1
5
D、
2
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)z=1-i復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)1+z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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同步練習(xí)冊答案