Question

已知f（x）=a^x+b的圖象過點(diǎn)（1，e），其反函數(shù)為f^-1（x）過點(diǎn)（1，0），若方程f（x）-kx=0無實(shí)根，則k的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知列關(guān)于a，b的方程組求得a，b的值，得到f（x），利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)過遠(yuǎn)點(diǎn)的切線的斜率，則使方程f（x）-kx=0無實(shí)根的k的取值范圍可求．

解答： 解：由f（x）=a^x+b的圖象過點(diǎn)（1，e），得
a+b=e  ①，
函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）過點(diǎn)（1，0），可得函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，1），則
b=0，代入①得：a=e．
∴f（x）=e^x．
方程f（x）-kx=0無實(shí)根，即e^x=kx無實(shí)根，
由f（x）=e^x．得f′（x）=e^x，
設(shè)直線y=kx與f（x）=e^x的切點(diǎn)為（x0，ex0），
則f′(x0)=ex0，
∴過切點(diǎn)的切線方程為y-ex0=ex0（x-x₀），
代入原點(diǎn)坐標(biāo)得x₀=1．
此時(shí)切點(diǎn)為（1，e），
∴k=e．
∴使方程e^x=kx無實(shí)根的k的范圍是[0，e）．
故答案為：[0，e）．

點(diǎn)評：本題考查了互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象間的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是中檔題．