Question

已知函數f（x）=x²+2ax+1-a，（ a∈R）
（1）若函數f（x）在（-∞，+∞）上至少有一個零點，求a的取值范圍；
（2）若函數f（x）在[0，1]上的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,二次函數的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）函數y=f（x）在R上至少有一個零點可化為方程x²+2ax+1-a=0至少有一個實數根，從而求得；
（2）函數f（x）=x²+2ax+1-a，對稱軸方程為x=-a；從而討論對稱軸以確定函數的單調性，從而求函數f（x）在[0，1]上的最小值，從而解得．

解答： 解：（1）因為函數y=f（x）在R上至少有一個零點，
所以方程x²+2ax+1-a=0至少有一個實數根，
所以△=2a×2a-4（1-a）≥0，
得a＜

-1- 5

2

或a＞

-1+ 5

2

；
（2）函數f（x）=x²+2ax+1-a，對稱軸方程為x=-a．
①當-a＜0，即a＞0時，f（x）_min=f（0）=1-a，
∴1-a=-2，∴a=3；
②當0≤-a≤1，即-1≤a≤0時，
f（x）_min=f（-a）=-a²-a+1，
∴-a²-a+1=-2，
∴a=

-1± 13

2

（舍）；
③當-a＞1，即a＜-1時，
f（x）_min=f（1）=2+a，
∴2+a=-2，∴a=-4；
綜上可知，a=-4或a=3．

點評：本題考查了二次函數與二次方程的關系應用及分類討論的數學思想應用，屬于基礎題．